临界 2 维随机热流的精细矩估计与上尾分布渐近分析

虽然 Kardar-Parisi-Zhang 普适类中的 1+1 维增长模型近年来活跃度空前, 但更高维模型的探索仍相对有限。其中 2+1 维模型尤为有趣, 因为在物理学术语下, 既非红外也非紫外超可重整化。典型例子包括带乘性噪声的随机热方程 (SHE) 和有向聚合物模型。这些模型在逆温度跨越临界值（随系统规模对数缩放）时表现出弱到强无序相转变。虽然亚临界情形已被详细建立, 但最近 [CSZ '23] 构造了临界 2+1 维有向聚合物配分函数的缩放极限，称为临界 2 维随机热流 (SHF)，它是一种随机测度，定义在 $\mathbb{R}^2$ 上。预期该 SHF 将表现出丰富的间歇性行为，从而导致其矩快速增长。已知 $h$ 次矩至少以 $\exp(\Omega(h^{2}))$ 增长（由高斯相关不等式得出），最多可达 $\exp(\exp (O(h^2)))$。然而, 该矩的真实增长率在 90 年代初期 [R '99] 被预测为 $\exp(\exp (\Theta(h)))$。本文我们证明了 $h$ 次矩的下界，匹配预测值，从而指数级地改进了之前的下界。我们也获得了相当精确的上尾分布估计。证明中的关键要素在于建立了 SHF 及其矩与相关 Feynman 图上的高斯自由场 (GFF) 之间的新型联系。这种联系为利用 GFF 的丰富代数结构来研究 SHF 开辟了道路。我们在证明过程中也证明了 GFF 的域马尔可夫性质导致的 SHF 相关核的一个新单调性质。