半线性共法线波的三重相互作用所产生的奇异性

我们研究半线性波动方程 $\square u = P(y, u)$ 解的共法线奇异性的局部传播，其中 $P(y, u)$ 是关于 $u$ 的 $N \geq 3$ 次多项式，具有 $C^\infty(\mathbb{R}^3_y)$ 系数。由 Melrose & Ritter 与 Bony 的工作可知，若 u 关于三个在点 $q$ 横截相交的波是共法线的，则在三重相互作用之后，$u(y)$ 是关于这三个波以及以 $q$ 为顶点的特征锥 $Q$ 的共法线分布。我们计算了 $u$ 在锥上及超平面之外的主符号。我们证明，若 $\partial_u^3 P (q, u(q)) \neq 0$，则 $u$ 是一个椭圆型共法线分布。