群环的(σ, τ)-导子及其应用

Leo Creedon与Kieran Hughes在[18]中基于群G的生成元与关系元研究了群环RG（群G在交换含幺环R上的群环）的导子。本文中，我们对(σ, τ)-导子做同样的研究。我们给出了映射f: X → RG能唯一延拓为RG的(σ, τ)-导子D的充要条件，其中R是交换含幺环，G是具表示⟨X | Y⟩的群（X为生成元集，Y为关系元集），(σ, τ)是RG的一对R-代数自同态，它们是G的群自同态的R-线性扩张。进一步，我们依据由RG的所有内(σ, τ)-导子构成的相应R-模的秩与一组基，对任意群G在任意交换含幺环R上的群代数RG的所有内(σ, τ)-导子进行了分类。我们得到若干推论，特别是G为(σ, τ)-FC群或有限群G且R为域的情形。我们还证明：若R为含幺环且G的阶在R中可逆，则RG的每个(σ, τ)-导子均为内导子。我们将上述结果应用于研究正特征域上交换群代数的σ-导子，并对任意特征任意域F上的二面体群代数𝔽D_{2n}（D_{2n} = ⟨a, b ∣ a^{n} = b^{2} = 1, b^{-1}ab = a^{-1}⟩，n ≥ 3）的所有内、外σ-导子进行了分类。最后，通过在编码理论中给出一种称为IDD码的新码的形式化构造及示例，给出了这些扭曲导子在编码理论中的应用。