对象单位强群体分级环的可分性

我们证明了如果 $R$ 为一个对象单位且由群体 $\Gamma$ 强分级的环，且 $\Delta$ 为 $\Gamma$ 的一个宽群体，那么 $R/R_\Delta$ 在下列情况下是可分的：对于每个 $e \in \Gamma_0$，存在 $f \in [e]$ 以及 $r \in C_{R_0}(R_\Lambda) := \{ x \in R_0 \mid xy = yx \text{ 对所有 } y \in R_\Lambda \}$，且 ${\rm tr}_{\Gamma/\Delta}^f(r) = 1_{R_f}$。这里，$\Gamma_0$ 表示 $\Gamma$ 的对象集合，$[e]$ 表示包含 $e$ 的 $\Gamma_0$ 的连通分支，$\Lambda$ 表示 $\Delta$ 的各向同性群体，${\rm tr}_{\Gamma/\Delta}^f$ 表示在 $f$ 处的相对迹迹映射。该结果同时概括了DeMeyer-Ingraham、N{\v a}st{\v a}sescu、Van den Bergh、Van Oystaeyen、Miyashita、Theohari-Apostolidi和Vavatsoulas等人关于矩阵环和群分级环的可分性定理，以及Cala、Lundstr"{o}m和Pinedo等人关于群体分级环的結果。作为应用，我们考虑对象交叉积的可分性，包括对象扭转群体环、经典群体环和矩阵环，以及由无限可分域扩张定义的交叉积代数。