循环群环的内扭导数与外扭导数

本文研究循环群环的扭导数。设 $R$ 为具有单位元的交换环， $G$ 为有限循环群， ($\sigma, \tau$) 为 $RG$ 的 $R$-代数内同态的配对，这些内同态是 $G$ 内同态的 $R$-线性延拓。在本文中，我们给出关于 $RG$ 的 ($\sigma, \tau$)-导数的两个特征。首先，我们给出 ($\sigma, \tau$)-导数为内导数的必要且充分条件。其次，我们提供满足 $D(1) = 0$ 的 $R$-线性映射 $D: RG \rightarrow RG$ 为 ($\sigma, \tau$)-导数的必要且充分条件。我们通过示例说明我们的定理。由于这两个特征，本文回答了关于 $RG$ 的已知扭导数问题：在什么情况下，$RG$ 的所有 ($\sigma, \tau$)-导数都是内导数？或者外 ($\sigma, \tau$)-导数的空间是否平凡？更精确地说，我们给出所有 ($\sigma, \tau$)-导数为内导数的充分条件，以及 $RG$ 具有非平凡外 ($\sigma, \tau$)-导数的充分条件。我们的结果有助于生成多个非平凡外导数的实例。