$C^*$-代数的 $(\sigma,\tau)$-顺从性

假设 ${\mathcal A}$ 是一个代数，$\sigma,\tau:{\mathcal A}\to{\mathcal A}$ 是两个线性映射，使得 $\sigma({\mathcal A})$ 和 $\tau({\mathcal A})$ 都是 ${\mathcal A}$ 的子代数，且 ${\mathcal X}$ 是一个 $\big(\tau({\mathcal A}),\sigma({\mathcal A})\big)$-双模。线性映射 $D:{\mathcal A}\to {\mathcal X}$ 称为 $(\sigma,\tau)$-导子，如果 $D(ab)=D(a)\cdot\sigma(b)+\tau(a)\cdot D(b) (a,b\in {\mathcal A})$。$(\sigma,\tau)$-导子 $D$ 称为 $(\sigma,\tau)$-内导子，如果存在 $x\in{\mathcal X}$ 使得 $D$ 具有形式 $D_x^-(a)=x\cdot \sigma(a)-\tau(a)\cdot x (a\in {\mathcal A})$ 或 $D_x^ +(a)=x\cdot \sigma(a)+\tau(a)\cdot x (a\in {\mathcal A})$。Banach 代数 ${\mathcal A}$ 称为 $(\sigma,\tau)$-顺从的，如果每个从 ${\mathcal A}$ 到对偶 Banach $\big(\tau({\mathcal A}),\sigma({\mathcal A})\big)$-双模的 $(\sigma,\tau)$-导子都是 $(\sigma,\tau)$-内的。通过研究 $(\sigma,\tau)$-导子的一些一般代数方面，我们在 $\sigma, \tau$ 是同态的情况下研究了 Banach 代数的顺从性与 $(\sigma,\tau)$-顺从性之间的关系。我们证明，如果 $\mathfrak A$ 是一个 $C^*$-代数，且 $\sigma, \tau$ 是满足 $\ker(\sigma)=\ker(\tau)$ 的 *-同态，则 ${\mathfrak A}$ 是 $(\sigma, \tau)$-顺从的当且仅当 $\sigma({\mathfrak A})$ 是顺从的。