$GSp(4)$ 表示的 Siegel $\mathfrak{p}^2$ 向量

设 $F$ 为 $p$ 进制域，$(\pi, V)$ 为 $G=GSp(4, F)$ 的一个不可约复表示，具有平凡中心字符。设 ${\rm Si}(\mathfrak{p}^2)\subset G$ 为 $\mathfrak{p}^2$ 级的 Siegel 同余子群，$u\in N_G({\rm Si}(\mathfrak{p}^2))$ 为 Atkin-Lehner 元素。我们计算了 $V$ 中 ${\rm Si}(\mathfrak{p}^2)$-固定向量空间的维数，以及作用于这些空间上的 involution $\pi(u)$ 的签名。