亏格 2 Siegel 模形式的特殊 L-值与 Selmer 群

设 $p$ 为奇素数, $N$ 为与 $p$ 互素的无平方因子奇正整数, $\pi$ 为 $\mathrm{GSp}_4(\mathbb{A}_\mathbb{Q})$ 的 $p$-普通上同调不可约尖点自守表示,其主水平为 $N$ 且在 $p$ 处为岩堀水平。利用 Rallis 内积公式的 $p$-整版本以及 $\mathrm{GSp}_{4/\mathbb{Q}}$ 和 $\mathrm{U}_{4/\mathbb{Q}}$ 的模性定理,在剩余 Galois 表示满足一定条件的假设下,我们建立了 $\pi$ 的 5 次 $L$-函数在 $1$ 处的临界值的 $p$-部分与由 $\pi$ 经 $\xi$ 扭曲所得的 5 次 Galois 表示的 Selmer 群的 $p$-部分之间的等式,其中 $\xi$ 为对应于扩张 $\mathbb{Q}(\sqrt{-N})/\mathbb{Q}$ 的非平凡二次 Dirichlet 特征。