关于某些四维李希耶尔表示的 Bloch-Kato 猜想

Bloch-Kato 猜想预测了 $L$ 函数零点阶数与 $p$ 进制李希耶尔表示的 Selmer 群秩之间的深远联系。在本文中，我们考虑由具有平凡中心字符且最小古典权重的 $\mathrm{GSp}_4(\mathbb A_{\mathbb Q})$ 自同形式 $\pi$ 产生的四维李希耶尔表示。在轻微的技术条件下，我们证明当中心值 $L(\pi,\mathrm{spin},1/2)$ 为非零时，Selmer 群消失。借助双部分 Euler 系统方法，我们通过构建 Ramified Galois 同伦类来界定 Selmer 群。与 $L$ 值的关系通过 $\mathrm{GSpin}_3\hookrightarrow \mathrm{GSpin}_5$ periods 于 $\mathrm{GSp}_4$ 的紧致内型上实现。我们还证明了一个关于秩为一情形的结果：若 $\pi$-等价部分中任何 Kudla 单循环在 Siegel 三次域上的 Abel-Jacobi 像为非零，则其生成完整的 Selmer 群。这些循环是嵌入四元数 Shimura 曲线的线性组合，根据在假设下的算术 Rallis 内积公式，其高度与 $L'(\pi,\mathrm{spin},1/2)$ 相关。