最短台球轨迹

本文证明: $d$ 维欧几里得空间（$d>1$）中的任意凸体至少存在一条最短广义台球轨迹;此外,其任意一条最短广义台球轨迹的周期至多为 $d+1$。实际上,在欧几里得平面上我们将该定理改进如下。参数 $r>0$ 的圆盘多边形,简单地说,就是欧几里得平面中有限多个半径为 $r$ 的（闭）圆盘的交集,这些圆盘称为生成圆盘,且具有某个公共内点。此外,我们称参数 $r>0$ 的圆盘多边形为胖圆盘多边形,如果其生成圆盘中心之间的两两距离至多为 $r$。我们证明:任意胖圆盘多边形的最短广义台球轨迹都是 2 周期的。同时,我们给出了由胖圆盘多边形经半径为 $\epsilon>0$ 的圆盘倒角后所得 $\epsilon$-倒角圆盘多边形的相应结论的证明。我们的定理对 S. Zelditch 最近提出的、关于刻画其最短周期台球轨迹周期为 2 的凸体的问题,给出了部分回答。