新谷下降、单群与散布

群 $G$ 的散布(spread)记为 $s(G)$,是使得对任意非平凡元素 $x_1, \dots, x_k \in G$ 均存在 $y \in G$ 满足对所有 $i$ 有 $G = \langle x_i, y \rangle$ 的最大 $k$。Burness、Guralnick 与 Harper 近期分类了满足 $s(G) > 0$ 的有限群 $G$,其中涉及向几乎单群的归约。本文中,我们证明一个渐近结果,精确确定对于几乎单群序列 $(G_n)$ 何时 $s(G_n) \to \infty$。我们运用了概率与几何思想,但关键工具是新谷下降(Shintani descent)——代数群理论中提供几乎单群共轭类间双射(新谷映射)的技术。我们给出通用版本新谷下降的自包含表述,并证明新谷映射保持关于极大超群的信息。这适于进一步应用。事实上,我们也用它研究 $\mu(G)$(即 $G$ 中元素的极大超群的最小数目)。我们表明若 $G$ 为几乎单群,则当 $G$ 具有交错或散在型基柱(socle)时 $\mu(G) \leqslant 3$,但一般地,不同于 $G$ 为单群时,$\mu(G)$ 可任意大。