一族Zygmund基的尖锐弱型估计

设$\mathcal{B}$为$\mathbb{R}^3$中边平行于坐标轴的矩形平行六面体集合，且$\mathcal{B}$由边长形如$s, 2^j s, t$的平行六面体组成，其中$s, t > 0$，$j$取整数非空子集$S$中的值。本文证明如下：若$S$为有限集，则相关几何极大算子$M_\mathcal{B}$满足形如$$\left|\left\{x \in \mathbb{R}^3 : M_{\mathcal{B}}f(x) > \alpha\right\}\right| \leq C \int_{\mathbb{R}^3} \frac{|f|}{\alpha}\left(1 + \log^+ \frac{|f|}{\alpha}\right)\;$$的弱型估计，但不满足对任何满足$$\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{\phi(x)}{x (\log(1 + x))} = 0\;$$的凸增函数$\phi: \mathbb[0, \infty) \rightarrow [0, \infty)$形如$$\left|\left\{x \in \mathbb{R}^3 : M_{\mathcal{B}}f(x) > \alpha\right\}\right| \leq C \int_{\mathbb{R}^3} \phi\left(\frac{|f|}{\alpha}\right)$$的估计。另一方面，若$S$为无限集，则相关几何极大算子$M_\mathcal{B}$满足弱型估计$$\left|\left\{x \in \mathbb{R}^3 : M_{\mathcal{B}}f(x) > \alpha\right\}\right| \leq C \int_{\mathbb{R}^3} \frac{|f|}{\alpha} \left(1 + \log^+ \frac{|f|}{\alpha}\right)^{2}$$但不满足对任何满足$$\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{\phi(x)}{x (\log(1 + x))^2} = 0\;$$的凸增函数$\phi: \mathbb[0, \infty) \rightarrow [0, \infty)$形如$$\left|\left\{x \in \mathbb{R}^3 : M_{\mathcal{B}}f(x) > \alpha\right\}\right| \leq C \int_{\mathbb{R}^3} \phi\left(\frac{|f|}{\alpha}\right)$$的估计。