最大弱Orlicz类型与von Neumann代数上的强最大算子

设 $\mathbf{E}_n: \mathcal{M} \to \mathcal{M}_n$ 和 $\mathbf{E}_m: \mathcal{N} \to \mathcal{N}_m$ 为有限von Neumann代数上的两个条件期望序列。与其相关的强最大算子 $\mathcal{E} = (\mathbf{E}_n\otimes \mathbf{E}_m)_{n,m}$ 的最优弱Orlicz类型尚未知晓。在Jose Conde和前两位作者最近的工作中，已证明$\mathcal{E}$对包含$\Phi(t) = t \, \log^{2+\varepsilon} t$的函数族具有弱类型($\Phi, \Phi$)，其中$\varepsilon > 0$。在本文中，我们证明$\mathcal{E}$的弱Orlicz类型不能低于$L \log^2 L$，即若$\mathcal{E}$具有弱类型($\Phi, \Phi$)，则$\Phi(s) \not\in o(s \, \log^2 s)$。我们的证明基于插值方法。具体来说，我们使用Cadilhac/Ricard最近的技术，为最大弱Orlicz类型构造一种类似Marcinkiewicz的定理。然后，我们表明若$\mathcal{E}$的弱Orlicz类型低于$L \log^2 L$，则当$p \to 1^{+}$时，$\mathcal{E}$的$p$算子常数将小于已知的最小值。