强极大算子的极限弱型行为及一种新的弱 $L\log L$ 型范数的下界

众所周知，强极大算子的弱 $(1,1)$ 界不成立，但它仍满足某种弱 $L\log L$ 型范数不等式。令 $\Phi_n(t)=t(1+(\log^+t)^{n-1})$，空间 $L_{\Phi_n}({\mathbb R^{n}})$ 为 ${\mathbb R^{n}}$ 上所有满足 $\|f\|_{L_{\Phi_n}({\mathbb R^{n}})} :=\|\Phi_n(|f|)\|_{L^1({\mathbb R^{n}})}<\infty$ 的可测函数集合。本文引入了一种比 $L^{1,\infty}({\mathbb R^{n}})$ 空间更大的新弱范数空间 $L_{\Phi_n}^{1,\infty}({\mathbb R^{n}})$，并建立了强极大算子相应的极限弱型行为。作为推论，我们证明了 $\max\{{2^n}{((n-1)!)^{-1}},1\}$ 是强极大算子的 $L_{\Phi_n}\to L_{\Phi_n}^{1,\infty}$ 范数最佳常数的下界。类似结果已推广到多线性强极大算子。