一类 Soria 基的尖锐弱型估计

设 $\mathcal{B}$ 为 $\mathbb{R}^3$ 中一组边平行于坐标轴的矩形平行六面体的集合，且 $\mathcal{B}$ 包含边长为 $s, \frac{2^N}{s} , t$ 形式的平行六面体，其中 $s, t > 0$ 且 $N$ 属于自然数某个非空子集 $S$。我们证明若 $S$ 为无限集，则相应的几何极大算子 $M_\mathcal{B}$ 满足弱型估计 $$\left|\left\{x \in \mathbb{R}^3 : M_{\mathcal{B}}f(x) > \alpha\right\}\right| \leq C \int_{\mathbb{R}^3} \frac{|f|}{\alpha} \left(1 + \log^+ \frac{|f|}{\alpha}\right)^{2}$$ 但不满足任何形如 $$\left|\left\{x \in \mathbb{R}^3 : M_{\mathcal{B}}f(x) > \alpha\right\}\right| \leq C \int_{\mathbb{R}^3} \phi\left(\frac{|f|}{\alpha}\right)$$ 的估计，其中 $\phi: \mathbb[0, \infty) \rightarrow [0, \infty)$ 为满足条件的凸增函数 $$\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{\phi(x)}{x (\log(1 + x))^2} = 0\;.$$