基于表示映射的 Friedrichs 与 Kre\u{\i}n 型延拓

Hilbert 空间中具有下界 $m \in {\mathbb R}$ 的半有界算子或关系 $S$ 具有对称延拓 $S_{\rm f}=S {\, \widehat + \,} (\{0\} \times {\rm mul\,} S^*)$，即 $S$ 的弱 Friedrichs 延拓，以及自伴延拓 $S_{\rm F}$，即 $S$ 的 Friedrichs 延拓，满足 $S \subset S_{\rm f} \subset S_{\rm F}$。Friedrichs 延拓 $S_{\rm F}$ 具有下界 $\gamma$，且它是 $S$ 的最大半有界自伴延拓。同样，对于每个 $c \leq \gamma$，关系 $S$ 具有弱 Kre\u{\i}n 型延拓 $S_{{\rm k},c}=S {\, \widehat + \,} (\ker (S^*-c) \times \{0\})$ 和 $S$ 的 Kre\u{\i}n 型延拓 $S_{{\rm K},c}$，满足 $S \subset S_{{\rm k},c} \subset S_{{\rm K},c}$。Kre\u{\i}n 型延拓 $S_{{\rm K},c}$ 具有下界 $c$，且它是 $S$ 的以 $c$ 为下界的最小半有界自伴延拓。在本文中，利用 ${\mathfrak t}(S)-c$ 的表示映射构造了这些特殊延拓，以及更一般地，$S$ 的所有极值延拓，并考虑了它们的性质。