求解金融中带初始奇异性的抛物型积分微分方程的变时间步 IMEX BDF2 格式的尖锐误差估计

近年来发展的 DOC 核技术在变时间步 BDF2 格式的稳定性与收敛性分析中取得了巨大成功。然而，该分析技术似乎不能直接应用于具有初始奇异性的问题。在具有初始奇异性的数值模拟中，常采用分级网格等变时间步格式以达到最优收敛，其首个相邻时间步比可能变得相当大，从而不满足已有的限制条件。本文重新审视了 [W. Wang, Y. Chen and H. Fang, \emph{SIAM J. Numer. Anal.}, 57 (2019), pp. 1289-1317] 中提出的变时间步隐式-显式两步向后微分公式（IMEX BDF2）格式，用于计算带初始奇异性的偏积分微分方程（PIDEs）。我们在相邻时间步比 $r_{k}: =\tau_{k}/\tau_{k-1} \; (k\geq 3) < r_{\max} = 4.8645$ 的温和限制条件以及关于第一步比 $r_2>0$ 的更宽要求下，得到了尖锐误差估计。这使得当采用简单策略（即分级网格 $t_k=T(k/N)^{\gamma}$）处理初始奇异性时，我们对变时间步 IMEX BDF2 格式的分析成立。在此情形下，以 $N$ 和 $\alpha$ 分别表示总网格点数和精确解的正则性指标，可得到 $\mathcal{O}(N^{-\min\{2,\gamma \alpha\}})$ 阶收敛。亦即，取 $\gamma_{\text{opt}}=2/\alpha$ 可达到最优收敛。数值算例验证了我们的理论分析。