非线性刚性分数阶微分方程的快速IMEX时间积分

由于分数阶算子的积分-微分性质，非线性分数阶微分方程的高效长时间积分极具挑战。此外，逆幂律核固有的非光滑性降低了许多现有数值方法的精度与效率。我们开发了两种高效的一阶和二阶隐式-显式（IMEX）方法，用于对分数阶阶数 $\alpha \in (0,1]$ 的刚性/非线性分数阶微分方程进行精确时间积分，并证明了其收敛性与线性稳定性。所提方法基于线性多步分数阶 Adams-Moulton 方法（FAMM），并对非线性力项进行外推。为处理初值时刻附近的奇异性，我们对所得分数阶算子采用类 Lubich 校正。所得 IMEX 方法的线性稳定区域大于文献中已有的 IMEX 方法。而且，稳定区域大小随分数阶阶数减小而增大，适于刚性问题的求解。我们还将所得 IMEX 方法改写为非线性 Toeplitz 系统，并采用快速求逆方案以达到 $\mathcal{O}(N \log N)$ 的计算复杂度，其中 $N$ 表示时间步数。数值结果表明，所提格式对带奇异性的高振荡刚性/非线性问题可取得全局一阶和二阶精度。