Sharp conditions for the BBM formula and asymptotics of heat content-type energies

给定 $p\in[1,\infty)$，我们给出关于非负可测核函数 $(\rho_t)_{t\in(0,1)}$ 的充要条件，确保其关联的 Bourgain-Brezis-Mironescu (BBM) 能量 $(\mathscr{F}_{t,p})_{t\in(0,1)}$ 在 $t\to0^+$ 时收敛于 $p$-Dirichlet 能量的变体，既在点态下又在 $\Gamma$-态下。我们还构思了关于 $(\rho_t)_{t\in(0,1)}$ 的充分条件，使得具有受限 BBM 能量的序列在 $L^p(\mathbb R^N)$ 中具有局部紧凑性。此外，我们给出关于 $(\rho_t)_{t\in(0,1)}$ 的充分条件，使得 $(\mathscr{F}_{t,p})_{t\in(0,1)}$ 在点态下和 $\Gamma$-态下收敛并具紧凑性，当限制 $p$-能量为非局部类型时。最后，我们将结果应用于提供热内容型能量在局部和非局部分置下的点态和 $\Gamma$-态下的渐近公式。