断开集合上非局部能量的均质化

我们考虑由双积分定义的、在 $\delta$ 周期断开集合上定义的非局部二次能量的问题，这取决于一个集中于尺度 $\varepsilon$ 的核函数。对于支持无界的核函数，我们显示可能存在三种情形：(i) $\varepsilon\!\!\!\!<\!\!\delta$，此时即使在 $L^2$ 强拓扑下，$\Gamma$ 极限也为 0；(ii) $\frac\varepsilon\delta\to\kappa$，此时能量相对于插值函数的收敛具有 coercivity，极限由参数化为 $\kappa$ 的非局部均质化公式支配；(iii) $\delta\!\!\!\!<\!\!\varepsilon$，此时$\Gamma$ 极限相对于粗糙收敛计算，表现出尺度分离效应：即与形式上首先让 $\delta\to 0$（这实际上是一个点态弱极限，归功于对 Jensen 不等式的反复使用），然后注意结果是 Bourgain、Brezis 和 Mironescu 研究的非局部能量，让 $\varepsilon\to0$ 所得相同。如果核函数受限于紧支撑集，则需要对情形 (ii) 使用稍微复杂的描述。