热斑猜想失效的尖锐界

区域 $\Omega\subset \mathbb{R}^d$ 的热斑比率衡量了 Rauch 的热斑猜想在该区域上的失效程度。我们确定了所有连通 Lipschitz 区域 $\Omega\subset \mathbb{R}^d$ 在任意维度 $d$ 下该比率的最大可能值。当 $d\to \infty$ 时，我们证明该最大比率收敛于 $\sqrt{e}$，渐近地匹配了 Mariano、Panzo 和 Wang 之前给出的最佳上界。对于 $d\ge 2$，我们证明使热斑比率达到极值的集合不存在，且极值序列必须以定量速率收敛到一个球。随后我们给出了第一个 Neumann 特征函数超过其最大边界值的集合的测度的尖锐界。由此我们推断出，当 $d\to \infty$ 时，热斑猜想在测度意义下渐近成立。