轻型结构的形状优化与消失质量猜想

本工作证明了关于寻找最小弹性柔度形状的经典问题中消失质量极限的严格结果。与数学文献中所有先前利用软质量约束（通过引入拉格朗日乘子）的结果相反，我们在此考虑硬质量约束。我们的结果首次建立了大小为 $\varepsilon \downarrow 0$ 的（精确）近似最优形状收敛到由（可能是弥散的）概率测度表示的极限广义形状。该极限广义形状是极限柔度的极小化子，其中涉及一个新的被积函数，即Bouchitté于2001年所猜想、并在1980和1990年代Allaire与Kohn以及Kohn与Strang的著作中启发式预测的那个。该被积函数给出了极限广义形状的能量，理解为（最优）低维结构的精细振荡。它的出现令人惊讶，因为原始柔度中的被积函数只是一个二次型，且问题的非凸性并不显而易见。事实上，正是质量约束与达到载荷（以散度约束形式）的要求之间的相互作用产生了这一新被积函数。我们还展示了与Michell桁架理论（1904年首次提出）的联系，并说明我们的结果如何被解释为在二维和三维泛函层面上对该理论的严格证明，从而解决了这一开放问题。我们的证明依赖于应用于显式（对称）$\mathrm{div}$-拟凸二次型族的补偿紧致性论证、涉及Kohn-Strang被积函数的Hashin-Shtrikman界的运算，以及Bouchitté与Buttazzo给出的极限极小化子刻画。