基于Lichnerowicz Laplacian的曲率条件刚性结果及其应用

Bochner技术是整体微分几何中利用曲率条件证明消没与刚性结果的经典工具。基于Petersen和Wink近期将该方法推广至完备非紧致情形的工作，我们研究了在完备黎曼流形上由Lichnerowicz Laplacian控制的$L^Q$调和张量（$Q>1$）。我们的结果将Bochner型定理推广至非紧致领域，揭示了紧致情形中不可见的新的几何刚性现象。我们在积分曲率界与加权Poincar\'e不等式下建立消没定理，并导出调和张量必须消没的条件。特别地，我们证明在Ricci平坦或Einstein流形上，在曲率算子的自然$L^Q$可积性与正性假设下，诸如$\mathrm{Rm}$或Weyl张量$W$等曲率张量恒为零。这些结果意味着强刚性：Ricci平坦情形下的平坦性与Einstein情形下的常截面曲率。我们进一步将框架应用于空间形式中的闭超曲面，并在第二基本形式的正性条件下导出中间Betti数的消没结果。最后，我们将理论推广至渐近局部欧氏（ALE）空间，证明在曲率正性与衰减条件下调和Weyl张量与Codazzi张量必须消没。我们的分析还将结果与ADM质量刚性相联系，建立了ALE 4-流形上非平凡衰减解的新阻碍。