群代数上的重数集与可闭乘子

我们对第二可数局部紧群 $G$ 中的重数集及其算子版本进行了详细研究。我们为从 $L^2(G)$ 上的有界线性算子空间 $\mathcal{B}(L^2(G))$ 到 $G$ 的 von Neumann 代数 $VN(G)$ 的正规完全有界映射建立了一种符号演算，并利用它证明：闭子集 $E\subseteq G$ 是重数集当且仅当集合 $E^* = \{(s,t)\in G\times G : ts^{-1}\in E\}$ 是算子重数集。对于 $M_1$-集和 $M_0$-集，我们建立了类似的结果。我们证明了作为重数集的性质在各种运算下均保持不变，包括取直积，并为此类集建立了一个原像定理。我们刻画了同时也是算子重数集的有限宽度集，并证明了支撑在有限宽度集上的每个紧算子都可以被支撑在同一集合上的秩一算子之和逼近。我们证明，如果 $G$ 满足一个温和的逼近条件，则由给定可测函数 $\psi : G\to \mathbb{C}$ 定义的逐点乘法在 $G$ 的约化 C*-代数 $C_r^*(G)$ 上定义了一个可闭乘子，当且仅当由函数 $N(\psi) : G\times G\to \mathbb{C}$（定义为 $N(\psi)(s,t) = \psi(ts^{-1})$）给出的 Schur 乘法，在被视为 $L^2(G)$ 上紧算子空间上的稠定线性映射时，是一个可闭算子。对于 $VN(G)$ 上的乘子，我们得到了类似的结果。