由修正 Loewner 力得到的自相似但非共形不变的迹

将二维 Loewner 探索过程推广到随机力具有正相关性增量的自相似情形。我们用 Hurst 指数 $H\geq \frac{1}{2}\equiv H_{\text{BM}}$ 的分数布朗运动来建模该随机力，其中 $H_{\text{BM}}$ 代表一维布朗运动。通过操控确定性力，我们设计了一个描述缺乏共形不变性的自相似迹的标度不变方程。该模型以“输入扩散参数” $\kappa$ 来研究，其在 $H=H_{\text{BM}}$ 时与普通 Schramm-Loewner 演化（SLE）的参数一致。在我们的数值研究中，聚焦于分别作为普通 SLE 的稀相、相变点与密相代表的 $\kappa=2,3$、$\kappa=4$ 与 $\kappa=6,8$ 所生成迹的标度性质。所得迹被证明是标度不变的。利用两种等价方案，我们提取了迹的分形维数 $D_f(H)$，其随 $H$ 增大单调下降，并在所有 $\kappa$ 值下于 $H=1$ 达到 $D_f=1$。左通行概率（LPP）检验表明，对于离不相关情形不远的 $H$ 值（小量 $\epsilon_H\equiv \frac{H-H_{\text{BM}}}{H_{\text{BM}}}$），普通 SLE 的预测可用有效扩散参数 $\kappa_{\text{eff}}$ 适用。不足为奇，$\kappa_{\text{eff}}$ 不满足 SLE 关于 $D_f(H)$ 与扩散参数关系的预测。