SLE 的基本性质

SLE 是一种基于 Loewner 方程、以一维布朗运动为驱动参数且速度为 $\kappa$ 的随机增长过程。该过程与渗流簇的标度极限以及布朗运动的外边界密切相关，并推测对应于二维中若干其他离散过程的标度极限。本文尝试对 SLE 进行首次系统研究。我们证明了对所有 $\kappa\ne 8$，SLE 轨迹是一条路径；对 $\kappa\in[0,4]$ 它是简单路径；对 $\kappa\in(4,8)$ 它是自交路径；对 $\kappa>8$ 它是空间填充的。还证明了 SLE 轨迹的 Hausdorff 维数 a.s. 至多为 $1+\kappa/8$，且在某一序列 $\eps\to 0$ 下，在有界集内覆盖它所需大小为 $\eps$ 的磁盘的期望数目至少为 $\eps^{-(1+\kappa/8)+o(1)}$（$\kappa\in[0,8)$）。类似地，对 $\kappa\ge 4$，SLE 壳的外边界的 Hausdorff 维数 a.s. 至多为 $1+2/\kappa$，且覆盖它所需半径为 $\eps$ 的磁盘的期望数目在某一序列 $\eps\to 0$ 下至少为 $\eps^{-(1+2/\kappa)+o(1)}$。