由随机游走和分形曲线驱动的迭代Schwarz-Christoffel变换

随机Loewner演化（SLE）是由一维布朗运动（BM）驱动的微分方程，其解给出了上半复平面\H上的共形变换随机过程。作为变换像的演化边界，生成了一条随机曲线（SLE曲线），该曲线从原点出发，随时间推移向\H中的无穷远处延伸。如果我们改变驱动BM的扩散常数，SLE曲线提供了重要分形曲线的多种统计系综。在本文中，我们考虑Schwarz-Christoffel变换（SCT），这是一种从\H到带有从原点出发的狭缝的区域\H的共形映射。我们准备了一个SCT的二项式系统，其中一个在\H中生成一个与实轴正方向夹角为$\alpha \pi$的狭缝，另一个生成夹角为$(1-\alpha) \pi$的狭缝。引入一个参数$\kappa >0$来控制$\alpha$的值和狭缝的长度。由一维随机游走（一个二项式随机过程）驱动，执行SCT的随机迭代。通过用直线连接狭缝尖端，我们在\H中得到一条随机路径，称之为迭代SCT（ISCT）路径。众所周知，当随机游走的步数$N$趋于无穷时，随机游走的每条路径除以$\sqrt{N}$收敛到一条布朗曲线。因此，我们期望ISCT路径除以$\sqrt{N}$（重标度ISCT路径）在$N \to \infty$时收敛到SLE曲线。我们的数值研究表明，对于足够大的$N$，重标度ISCT路径将具有与SLE曲线相同的统计性质，支持了我们的期望。