折扣问题中温度趋于零时校准子作用的选择

考虑 $T(x)= d \, x$ (mod 1) 作用于 $S^1$，Lipschitz 势 $A:S^1 \to \mathbb{R}$，$0<\lambda<1$ 以及唯一函数 $b_\lambda:S^1 \to \mathbb{R}$ 满足 $b_\lambda(x) = \max_{T(y)=x} \{ \lambda \, b_\lambda(y) + A(y)\}$。我们将证明，当 $\lambda \to 1$ 时，函数 $b_\lambda- \frac{m(A)}{1-\lambda}$ 一致收敛于校准子作用 $V(x) = \max_{\mu \in \mathcal{ M}} \int S(y,x) \, d \mu(y)$，其中 $S$ 为 Mañé 势，$\mathcal{ M}$ 为支撑集在 Aubry 集上的不变概率测度的集合，且 $m(A)= \sup_{\mu \in \mathcal{M}} \int A\,d\mu$。对于 $\beta>0$ 和 $\lambda \in (0,1)$，方程 $e^{u_{\lambda,\beta}(x)} = \sum_{T(y)=x}e^{\beta A(y) +\lambda u_{\lambda,\beta}(y)}$ 存在唯一不动点 $u_{\lambda,\beta} :S^1\to \mathbb{R}$。已知当 $\lambda \to 1$ 时，函数族 $e^{[u_{\lambda,\beta}- \sup u_{\lambda,\beta}]}$ 一致收敛于与 $\beta A$ 相关的 Ruelle 算子的主本征函数 $\phi_\beta$。我们考虑 $\lambda=\lambda(\beta)$，满足 $\beta(1-\lambda(\beta))\to+\infty$ 且 $\lambda(\beta) \to 1$，当 $\beta \to\infty$ 时。在这些假设下，我们将证明 $\frac{1}{\beta}(u_{\lambda,\beta}-\frac{P(\beta A)}{1-\lambda})$ 随 $\beta\to \infty$ 一致收敛于上述 $V$。参数 $\beta$ 代表统计力学中的温度倒数，$\beta \to \infty$ 意味着温度趋于零。在这些条件下，当 $\beta \to \infty$ 时我们得到子作用的选择。