一类不连续非凸Bolza问题最优控制的一致有界性

我们考虑如下Bolza型最优控制问题\begin{equation}\min J_{t}(y,u):=\int_t^T\Lambda(s,y(s), u(s))\,ds+g(y(T))\tag{P$_{t,x}$}\end{equation} 满足：\begin{equation}\label{tag:admissible}\tag{D}\begin{cases} y\in AC([t,T];\mathbb R^n)\\y'=b(y)u\text{ a.e. } s\in [t,T], \,y(t)=x\\u(s)\in \mathcal U\text{ a.e. } s\in [t,T],\, y(s)\in \mathcal S\,\,\forall s\in [t,T], \end{cases} \end{equation} 其中$\Lambda(s,y,u)$关于$s$局部Lipschitz，关于$(y,u)$仅为Borel可测，$b$至多具有线性增长，且拉格朗日量$\Lambda$与终端代价函数$g$均可取$+∞$值。若$b\equiv 1$且$g\equiv 0$，问题(P$_{t,x}$)即为经典的变分法问题。我们假定成立Clarke于1993年引入的关于$u$的慢增长条件，其包含形如$\Lambda(s,y,u)=\sqrt{1+|u|^2}$与$\Lambda(s,y,u)=|u|-\sqrt{|u|}$的拉格朗日量以及超线性情形。若$\Lambda$为实值函数，则对任意一族最优对$(y_*, u_*)$，当$(t,x)$在紧集中变化时其能量$J_t(y_*, u_*)$等界，其$L^\infty$最优控制是一致有界的。若$\Lambda$为取扩展值的函数，在相同结论下需附加$(s,u)\mapsto\Lambda(s,y,u)$的下半连续性假设及有效域结构假设。我们不假设关于变量$(y,u)$的凸性及局部Lipschitz连续性。作为应用，我们在慢增长假设下得到了值函数的局部Lipschitz连续性。