浅湖型模型最优控制的存在性

我们考虑与著名浅湖模型的一般版本相关的最优控制问题，并证明了在 $L_{loc}^{1}\left(0,+\infty\right)$ 类中最优控制的存在性。文献中似乎缺失任何直接证明。处理（即使在局部）可能无界的容许控制对于恰当地表示具体的优化问题是必要的；另一方面，控制空间的非紧性连同无限时域设定使得无法获得良好的先验估计——这使得存在性问题变得相当困难。我们提出了一种原创方法，在某种意义上与用于求解有限时域 Mayer 或 Bolza 问题的经典控制理论方法相反。概括而言，我们的方法基于以下方案：i) 两个均匀局部化引理，给定 $T\geq1$ 和一个控制的最大化序列，提供另一个在 $L^{\infty}\left(\left[0,T\right]\right)$ 中有界且仍为最大化的控制序列。ii) 一种处理非彼此抽取序列的特殊对角线过程。iii) 一种“标准”对角线过程。根据构造，最优控制被证明是局部有界的。