具有分布力的弹性杆纵向运动的最优控制

本研究致力于直线弹性杆纵向运动的数学建模与最优控制设计。控制输入为垂直于横截面并沿杆轴分段常值分布的作用力，以及两端的两个外部集中载荷。假设法向力的常值区间长度相等。给定固定时间区间下的初态与终态，最优控制问题为最小化杆内储存的平均机械能。为求解该问题，引入两个未知函数：动力势与纵向位移。由此，初边值问题被重新表述为弱形式，其中本构关系以积分二次方程给出。在新表述中，两个未知函数均连续。对于均匀杆，它们被表示为行波线性组合。此时，关于连续性的所有条件以及边界、初始与终端约束，构成关于行波与控制函数的线性代数系统。最小能控时间由该代数系统的可解性条件确定。求解该系统后，剩余自由变量用于优化代价泛函。从而，原控制问题被归约为一维变分问题。Euler–Lagrange 必要条件导出带有常系数的线性常微分方程组，并辅以本质与自然边界条件。因此，精确的最优控制律及相应的动力学与运动学场被显式求出。最后，分析了最优解的能量性质。