零温热力学形式中的有效势与转运问题

记{1,2,..,r}^{Z} = {1,2,..,r}^{N} × {1,2,..,r}^{N}中的点为({y}^*, {x})。给定一个Lipschitz连续的可观测函数A: {1,2,..,r}^{Z} → {R}，我们定义映射{G}^+: {H} → {H}为{G}^+(φ)({y}^*) = sup_{μ ∈ {M}_σ} [∫_{{1,2,..,r}^{N}} (A({y}^*, {x}) + φ({x})) dμ({x}) + h_μ(σ)]，其中：σ是作用在{1,2,..,r}^{N}上的左移位映射；{M}_σ表示σ-不变Borel概率测度的集合；h_μ(σ)表示Kolmogorov-Sinai熵；{H}是{1,2,..,r}^{N}上Lipschitz实值函数构成的Banach空间。我们证明存在唯一的φ^+ ∈ {H}和唯一的λ^+ ∈ {R}，使得{G}^+(φ^+) = φ^+ + λ^+。我们称φ^+为与A相关的有效势。这也定义了{1,2,..,r}^{N}上的一族σ-不变Borel概率测度μ_{{y}^*}，由点{y}^* ∈ {1,2,..,r}^{N}索引。最后，对于固定的A和可变的正实数值β，我们考虑Lipschitz可观测函数βA的相同问题。然后我们研究当β → ∞时有效势（现在依赖于β）以及上述概率测度族的渐近极限。我们将极限对象与Kantorovich转运问题的遍历版本联系起来。在统计力学中，β ∝ 1/T，其中T是绝对温度。这样，我们也在分析零温下与有效势相关的问题。