晶体体系与高维子shifts 的冻结相变

设 $X = \mathcal{A}^{\mathbb{Z}^d}$，其中 $d \geq 1$ 且 $\mathcal{A}$ 为有限集合，配合位移映射的作用。对于给定的连续潜在函数 $\phi: \mathcal{A}^{\mathbb{Z}^d} \to \mathbb{R}$ 和 $\beta>0$（“逆温度”），存在一组平衡状态 $\mathrm{ES}(\beta\phi)$。当 $\mathrm{ES}(\beta\phi) = \mathrm{ES}(\beta'\phi)$ 对所有 $\beta, \beta' > \beta_c$ 成立，而对任意 $\beta < \beta_c < \beta'$ 有 $\mathrm{ES}(\beta\phi) \neq \mathrm{ES}(\beta'\phi)$ 时，势函数 $\phi$ 被称为 exhibits “冻结相变”。其中 $\beta_c\in (0,\infty)$ 为依赖于 $\phi$ 的临界逆温度。在本文中，给定任意子shifts $X_0$ 为 $X$ 的一个proper子shifts，我们显式构造一个连续潜在函数 $\phi: X \to \mathbb{R}$，使得存在 $\beta_c \in (0,\infty)$ 使得 $\mathrm{ES}(\beta\phi)$ 与 $X_0$ 上最大熵测度的集合相同，而对于所有 $\beta < \beta_c$，都有 $\mu(X_0)=0$ 对所有 $\mu\in \mathrm{ES}(\beta\phi)$。该现象此前仅在 $d = 1$ 的动力系统语境下针对受限子shifts 类研究。此外，我们证明在自然可和条件下——例如有限范围潜在函数或指数衰减潜在函数——冻结相变不可能。