论一般一维XY模型：正温与零温，选择与非选择

我们考虑一个连通紧致流形$(M,d)$，并用$\mathcal{B}_i$表示序列的伯努利空间$M^{\Z}$，序列表示为$$x=(... x_{-3},x_{-2},x_{-1},x_0,x_1,x_2,x_3,...),$$其中$x_i$属于空间（字母表）$M$。$M=\mathbb{S}^1$（单位圆周）的情形在此具有特别的意义。一维格点$\mathbb{N}$上的类似问题也予以考虑。设$A: \mathcal{B}_i \rar \R$为定义在伯努利空间$\mathcal{B}_i$上的一个{\it 可观测量}或{\it 势}。势$A$描述了一维格点$M^\mathbb{Z}$中格点之间的相互作用。给定温度$T$，我们分析吉布斯态$\hat{\mu}_{\frac{1}{T} A}$的主要性质，它是${\cal B}_i$上的某个概率测度。我们将此框架称为“一般XY模型”。为进行分析，我们考虑与$\frac{1}{T} A$相关联的Ruelle算子，并在此过程中得到主特征函数$\psi_{\frac{1}{T} A}$。随后，我们分析温度趋于零时的选择问题：a) 极限（在一致收敛意义下）$$V:=\lim_{T\to 0} T\, \log(\psi_{\frac{1}{T} A}),\,\,\,\,\text{一个关于子作用选择的问题}$$是否存在；以及b) 极限（在弱$^*$意义下）$$\tilde{\mu}:=\lim_{T\to 0} \hat{\mu}_{\frac{1}{T}\, A},\,\,\,\,\text{一个关于测度选择的问题}$$是否存在。子作用的存在性以及遍历优化的其他性质也予以考虑。