与高斯测度和泊松测度相关的一模交互福克空间上的 Segal-Bargmann 变换

令 $\mu_{g}$ 和 $\mu_{p}$ 分别表示 ${\Bbb R}$ 上的高斯测度和泊松测度。我们证明存在唯一的 ${\Bbb C}$ 上的测度 $\widetilde{\mu}_{g}$，使得在 Segal-Bargmann 变换 $S_{\mu_g}$ 下，空间 $L^2({\Bbb R},\mu_g)$ 同构于关于 $\widetilde{\mu}_{g}$ 的 ${\Bbb C}$ 上的解析 $L^2$-函数空间 ${\cal H}L^2({\Bbb C}, \widetilde{\mu}_{g})$。我们还引入泊松测度 $\mu_{p}$ 的 Segal-Bargmann 变换 $S_{\mu_p}$ 并证明相应结果。作为推论，当 $\mu_{g}$ 和 $\mu_{p}$ 具有相同的方差时，在 $S_{\mu_g}$ 和 $S_{\mu_p}$ 变换下，$L^2({\Bbb R},\mu_g)$ 和 $L^2({\Bbb R},\mu_p)$ 分别同构于同一空间 ${\cal H}L^2({\Bbb C}, \widetilde{\mu}_{g})$。然而，我们证明在 $L^2({\Bbb R}, \mu_g)$ 和 $L^2({\Bbb R}, \mu_p)$ 上由 $x$ 定义的乘法算子在 ${\cal H}L^2({\Bbb C}, \widetilde{\mu}_{g})$ 上的作用截然不同。