等价理论重新定义哈密顿可观测量以展示广义相对论中的变化

在正则广义相对论中，按通常定义的可观测量缺失了变化与局部空间变化，这是时间问题的一部分。可以使用等价表述（非规范和规范）来检验定义，因为它们必须具有等价的可观测量，且在非规范表述中一切都是可观测的。从非规范表述中取出一个可观测量并在规范表述中找到其等价物，要求该等价物也是一个可观测量，从而约束了定义。对于有质量光子，de Broglie-Proca 非规范表述的可观测量 $A_{\mu}$ 等价于 Stueckelberg-Utiyama 规范表述中的量 $A_{\mu}+\partial_{\mu} \phi$。因此，可观测量必须与 Rosenfeld-Anderson-Bergmann-Castellani 规范生成元 G（一个第一类约束的调和和）的 Poisson 括号为零，而不是与每个第一类约束的 Poisson 括号为零，这符合 Pons-Salisbury-Sundermeyer 的可观测量定义。利用有质量引力可以检验外部规范对称性的定义，其中可以通过用钟场 $X^A$ 参数化来引入规范自由度。非规范可观测量 $g^{\mu\nu}$ 的规范等价物为 $X^A,_{\mu} g^{\mu\nu} X^B,_{\nu}$。$X^A,_{\mu} g^{\mu\nu} X^B,_{\nu}$ 与 G 的 Poisson 括号结果不为零，而是一个 Lie 导数。这个非零的 Poisson 括号改进并系统化了 Kuchar 放松与哈密顿约束的零 Poisson 括号条件的提议。因此，对于外部规范对称性，可观测量需要的是协变性，而非不变性。有质量引力的拉格朗日量和哈密顿量与广义相对论 + Lambda + 4标量相同，因此相同的可观测量定义也适用于广义相对论。诸如 $g_{\mu\nu}$ 之类的局域场是可观测量。因此，可观测量是变化的。要求等价理论具有等价的可观测量也恢复了哈密顿-拉格朗日等价性。