次级 Kodaira-Spencer 类与非庞特-道尔-霍尔当 cohomology

若 $X$ 为光滑射影变形族中的变量，则可为其在复化 2 球 $T=S^2\otimes \cc$ 系数下非庞特-道尔-霍尔当 cohomology $Hom(X_{Dol}, T)$ 定义次级 Kodaira-Spencer 类（$T$ 在 $Sch/\cc$ 上为 3 栈）。取 $Z$ 为单连通射影曲面且 $h^{2,0}\neq 0$，令 $X$ 为 $Z$ 于点 $P$ 的 blow-up。当 $P$ 在 $Z$ 中变动时， blow-up $X$ 形成变形族，我们证明次级 Kodaira-Spencer 类非平凡。这与 homotopy 群上的混合 Hodge 结构变分常数的事实形成鲜明对比。本文讨论相关概念，附录中给出特征为零下 Breen 计算细节及单连通复数图形的可表现性。