Schur 态、平均混合与CTQW下图的计数树

我们引入一族来源于连续时间量子漫步于线图 $\ell\G$ 上的复数边权重，包装为 \emph{Schur 态}：一个 $n \times n$ 厄米矩阵编码边态漫步的振幅。其元素级模平方诱导出实权邻接矩阵 $A(e)$ 和拉普拉斯 $L(e)$，随后时序平均得到加权图，其 spanning-tree 计数我们与 $\G$ 相关。我们的主要结果是\n\n$$tn\!\left(\G, \tfrac{1}{m}\right) = \frac{1}{m^{n-1}}\, tn(\G),$$\n\n有效于初始边态为 \emph{均匀可交换} 时，其中 $n=|V\G|$，$m=|E\G|$，$tn(\G, w)$ 表示加权 spanning-tree 计数。我们进一步识别了一种结构机制——$\ell\G$ 的 $-2$ 特征子空间——为均匀可交换态提供了超出规则情况的解，特别是具有奇数边数的欧拉图的线图。作为副结果，我们建立了可交换态恰为在平均混合下维持 von Neumann 熵的态。