Schur 指标与 Witt-Berman 定理的推广

设 $G$ 为有限群，$F$ 为特征为 $0$ 或与 $G$ 的阶互素域。1952 年 Witt 以及 1956 年 Berman 各自独立证明了 $G$ 的互不等价不可约 $F$-表示的数目等于 $G$ 的元素之 $F$-共轭类的数目，其中“$F$-共轭”以某种方式定义。本文中以自然方式在 $G$ 上定义 $F$-共轭，并给出上述 Witt-Berman 定理的一个证明。此外，我们给出计算群代数 $F[G]$ 的对应于 $G$ 的一个不可约 $F$-表示的本原中心幂等元（pci）的显式公式，该公式可由 $G$ 的“$F$-特征标表”得到。设 $G$ 为具有指数为素数 $p$ 的正规子群 $H$ 的有限群。1955 年，在 $F$ 为代数闭域的情形下，Berman 用 $F[H]$ 的 pci 算出了 $F[G]$ 的对应于 $G$ 的不可约 $F$-表示的 pci。本文给出此 Berman 定理的完整证明，并在 $F$ 未必代数闭时推广该结果。此外，利用经典的 Schur 理论与 Wedderburn 理论，我们给出了 $H$ 的不可约 $F$-表示的诱导表示分解为不可约分支的结果。