散射图、稳定性条件与 $\mathbb{P}^2$ 上的凝聚层

我们证明，一个纯代数结构——二维散射图——描述了 $\mathbb{P}^2$ 上凝聚层导出范畴中 Bridgeland 半稳定对象模空间的大部分穿墙行为。这给出了一种新算法，用于计算 $\mathbb{P}^2$ 上 Gieseker 半稳定层经典模空间的相交上同调的 Hodge 数，或等价地计算局部 $\mathbb{P}^2$ 上紧支撑层的精细 Donaldson-Thomas 不变量。作为应用，我们证明了 $\mathbb{P}^2$ 上 Gieseker 半稳定层模空间的相交上同调是 Hodge-Tate 型的，并对局部 $\mathbb{P}^2$ 上一维层的精细 Donaldson-Thomas 不变量的一般 $\chi$-独立性猜想给出了首次非平凡数值验证。