AWGN 信道下极化码的标度指数与中等偏差渐近性

本文研究了加性高斯白噪声（AWGN）信道下的极化码。对于容量为 $I(q_{Y|X})$ 的无记忆信道 $q_{Y|X}$，极化码的标度指数 $\mu$ 以下述方式刻画了信道容量与非渐近可达速率之间的最接近差距：对于固定的 $\varepsilon \in (0, 1)$，容量 $I(q_{Y|X})$ 与长度为 $n$、平均错误概率为 $\varepsilon$ 的极化码所达到的最大非渐近速率 $R_n^*$ 之间的差距按 $n^{-1/\mu}$ 标度，即 $I(q_{Y|X})-R_n^* = \Theta(n^{-1/\mu})$。众所周知，对于任何 $I(q_{Y|X})\in(0,1)$ 的二元输入无记忆信道（BMC），其标度指数 $\mu$ 的上界为 $4.714$，这是通过极化码的一种显式构造证明的。我们的主要结果表明，$4.714$ 仍然是 AWGN 信道标度指数的一个有效上界。我们的证明技术涉及以下两个思想：(i) 通过使用由 $n$ 个星座组成的输入字母表并限制输入分布为均匀分布，可以在 $O(n^{-1/\mu}\sqrt{\log n})$ 的差距内达到 AWGN 信道的容量；(ii) 通过使用 $\log n$ 个二元输入极化码的叠加，可以在 $O(n^{-1/\mu}\log n)$ 的差距内达到输入字母表由 $n$ 个星座组成的多址接入信道（MAC）的容量。此外，我们研究了极化码在中等偏差区域下的性能，在该区域中，随着 $n$ 的增长，容量差距和错误概率都趋于零。我们提出了一种极化码的显式构造，以满足 AWGN 信道下容量差距与错误概率衰减速率之间的某种权衡。