无记忆信道最优码的对数体积：渐近误差在几纳特以内

Shannon 对无记忆通信信道基本容量极限的分析随着时间的推移得到了完善。本文证明了在平均解码错误概率为 $\epsilon$ 的条件下，长度为 $n$ 的码的最大体积 $M_\avg^*(n,\epsilon)$ 满足以下紧密的渐近上下界（当 $n \to \infty$ 时）：$$\underline{A}_\epsilon + o(1) \le \log M_\avg^*(n,\epsilon) - [nC - \sqrt{nV_\epsilon} \,Q^{-1}(\epsilon) + \frac{1}{2} \log n] \le \overline{A}_\epsilon + o(1)$$ 其中 $C$ 是 Shannon 容量，$V_\epsilon$ 是 $\epsilon$-信道离散度或二阶编码率，$Q$ 是正态分布的尾部概率，常数 $\underline{A}_\epsilon$ 和 $\overline{A}_\epsilon$ 已被明确识别。该表达式在信道的温和正则性假设（包括非奇异性）下成立。对于 Cover-Thomas 意义下的弱对称信道，间隙 $\overline{A}_\epsilon - \underline{A}_\epsilon$ 为 1 纳特；对于其他对称信道、二进制对称信道和 $Z$ 信道，通常为几纳特。推导基于强的大偏差分析和精细的中心极限渐近分析。提出了一种达到下界的随机编码方案，其码字取自经 $O(1/\sqrt{n})$ 修正项修改后的达到容量的输入分布。