具有乘积核的极化码之极化行为与缩放指数

由Arikan引入的极化码在连续消去译码下可达到任意二进制输入离散无记忆信道$W$的容量。任何此类具有容量$I(W)$的信道以及对于任何允许以速率$R$传输的编码方案，缩放指数是刻画在固定错误概率下随码长$N$增大容量间隙衰减快慢的参数。它们之间的关系由$N\geqslant \alpha/(I(W)-R)^\mu$给出。小尺寸至$L=8$的核的缩放指数已被穷尽求出。本文中，我们考虑通过取分量核的Kronecker积得到的乘积核$T_{L}$。我们推导了极化乘积核关于乘积核数目、自对偶性和部分距离的性质，这些性质用较小分量核的相应性质表示。随后，利用分量核$T_{l}$的极化行为来计算$T_{L}=T_{2}\otimes T_{l}$的缩放指数。使用该方法，我们证明$\mu(T_{2}\otimes T_{5})=3.942$。进一步，我们采用启发式方法从具有最佳$\mu$的尺寸$l=8$的核构造$L=14$的优良核，并发现$\mu(T_{2}\otimes T_{7})=3.485$。