具有小缩放指数的显式极化码

本文中，我们关注于$\ell\le 64$的$\ell\times\ell$二进制核且具有小缩放指数的显式构造。特别地，我们展示了一类二进制线性码序列，其在BEC上以准线性复杂度逼近容量且缩放指数$\mu < 3$。据我们所知，此类码序列此前未知存在。确立我们结果的主要挑战有二：如何构造此类核，以及如何评估其缩放指数。在单次极化步骤中，一个$\ell\times\ell$核$K_\ell$将底层BEC变换为$\ell$个比特信道$W_1,W_2,\ldots,W_\ell$。$W_1,W_2,\ldots,W_\ell$的删除概率，称为$K_\ell$的极化行为，决定了所得缩放指数$\mu(K_\ell)$。我们首先引入一类自对偶二进制核并证明它们的极化行为满足强对称性性质。这将构造$K_\ell$的问题化简为产生仅$\ell/2$个自正交码的特定嵌套链。我们使用嵌套循环码（在正交约束下距离尽可能高）来构造核$K_{32}$和$K_{64}$。为评估$K_{32}$和$K_{64}$的极化行为，提出了两种替代的网格表示（可能具有独立意义）。利用所得网格，我们展示$\mu(K_{32})=3.122$并显式计算了$K_{64}$一半以上的极化行为系数，此时复杂度变得 prohibitive。为完成计算，我们引入蒙特卡洛插值法，得出估计$\mu(K_{64})\simeq 2.87$。我们以严格证明$\mu(K_{64})<2.97$补充该估计。