利用 Gessel-Viennot 行列式合理表达旗舒尔函数所需的行界

设 $\lambda$ 为不超过 $n$ 个部分的划分。设 $\beta$ 为来自 $\{ 1, ... , n \}$ 的弱增 $n$ 元组。由 $\lambda$ 和 $\beta$ 索引的变量 $x_1, ... , x_n$ 中的旗舒尔函数被定义为形状为 $\lambda$ 且其值按行受 $\beta$ 的条目界定的半标准杨表的含量权单项式之和。Gessel 和 Viennot 给出了由 $\lambda$ 和 $\beta$ 索引的旗舒尔函数的行列式表达式；这之所以可行，是因为该对 $(\lambda, \beta)$ 满足他们用于建模表的 $n$ 条格路的终点序列的“非可置换”条件。我们通过取消 $\beta$ 必须弱增的要求来推广旗舒尔函数。然后对于每个 $\lambda$，我们给出 $\beta$ 的条目使得对 $(\lambda, \beta)$ 非可置换的充要条件。当 $\lambda$ 的部分不互异时，会有多个行界 $n$ 元组 $\beta$ 产生相同的表集合。因此我们将这些界 $\beta$ 分成等价类，并确定每类中用于行列式计算最高效的 $\beta$。我们最近表明，许多其他由 $n$ 和 $\lambda$ 索引的对象集合都由这些高效 $n$ 元组的数量枚举。我们称这些计数为“抛物线卡特兰数”。值得注意的是，由 312-避免排列索引的 $GL(n)$ Demazure 特征（关键多项式）也可以用这些行列式来表达。