抛物 Catalan 数计数标志 Schur 函数及其作为 A 型 Demazure 特征（key 多项式）的出现
摘要
固定一个部分数不超过 n 的整数分拆 lambda。设 beta 为一个元素取自 {1,..,n} 的弱递增 n 元组。由 lambda 和 beta 索引的标志 Schur 函数是形状为 lambda 的某些半标准杨表在 x_1, .., x_n 中的多项式生成函数。设 pi 为一个 n 元置换。由 lambda 和 pi 索引的 A 型 Demazure 特征（key 多项式，Demazure 多项式）是另一个这样的多项式生成函数。Reiner 和 Shimozono 以及随后 Postnikov 和 Stanley 研究了这两族多项式之间的重合。本文通过为两族多项式的索引等价类指定唯一代表元来锐化他们的结果，通过考虑更一般的 beta 来扩展结果，并通过证明多项式重合在底层杨表集合层面也成立来深化结果。设 R 为 lambda 形状中小于 n 的列长度的集合。具有由 R 确定块大小的 {1,..,n} 的有序集合划分（称为 R-置换）被用来描述由集合 {1,..,n-1}\R 指定的第 n 对称群抛物商的最小长度代表元。312-避免的概念从 n 元置换推广到这些集合划分。R-抛物 Catalan 数被定义为这些划分的个数。每个标志 Schur 函数都可作为 Demazure 多项式出现。这些 Demazure 多项式恰好由 R-312-避免的 R-置换索引。因此，作为多项式互异的标志 Schur 函数的个数被证明为 R-抛物 Catalan 数。关联 312-避免和 R-312-避免概念的投影与提升过程通过为其他目的开发的映射进行了描述。
引用
@article{arxiv.1706.04649,
title = {Parabolic Catalan numbers count flagged Schur functions and their appearances as type A Demazure characters (key polynomials)},
author = {Robert A. Proctor and Matthew J. Willis},
journal= {arXiv preprint arXiv:1706.04649},
year = {2023}
}
备注
27 pages, 2 figures. Identical to v.2, except for the insertion of the publication data for the DMTCS journal (dates and volume/issue/number). This is two-thirds of our preprint "Parabolic Catalan numbers count flagged Schur functions; Convexity of tableau sets for Demazure characters", arXiv:1612.06323v2