非谐 Larkin 模型的粗糙化

我们研究了受淬火随机力作用的 $d$ 维有向弹性界面的粗糙化。如同 Larkin 模型中一样，随机力在位移方向上被视为常数，在垂直方向上不相关。弹性能量密度包含一个正比于 $(\partial_x u)^2$ 的谐部分，和一个正比于 $(\partial_x u)^{2n}$ 的非谐部分，其中 $u$ 为位移场，$n>1$ 为整数。通过启发式标度论证，我们获得了任意 $d$ 和 $n$ 下的全局粗糙度指数 $\zeta$、动态指数 $z$ 以及谐到非谐的交叉长度尺度，由此给出上临界维度 $d_c(n)=4n$。我们发现其与 $d=1$ 时的数值计算精确吻合。然而，对于 $d=1$ 的情形，我们观察到了一种反常的“小面”标度，其谱粗糙度指数 $\zeta_s$ 满足 $\zeta_s > \zeta > 1$（对任意有限 $n>1$），从而使得两点关联函数通常的单指数标度以及热力学极限下弹性能量密度的小梯度近似失效。我们证明，这种 $d=1$ 情形直接与一族由 $n$ 参数化的布朗泛函相关，其范围从 $n=1$ 的随机加速模型延伸至 $n=\infty$ 的 Lévy 反正弦定律问题。我们的结果在实验上可能有助于描述 Matheron-de Marsilly 类型随机流中非线性弹性界面的粗糙化。