$A_n$ 中的车放置与 $B$-轨道闭包的组合学

设 $G$ 为复约化群，$B$ 为 $G$ 的 Borel 子群，$\nt$ 为 $B$ 的未幂零根的 Lie 代数，$\nt^*$ 为其对偶空间。设 $\Phi$ 为 $G$ 的根系，$\Phi^+$ 为相对于 $B$ 的正根集。$\Phi^+$ 的子集若由两两内积非正的根组成，则称为车放置（rook placement）。对于每个车放置 $D$，可关联 $\nt^*$ 中 $B$ 的余伴随轨道 $\Omega_D$。根据定义，$\Omega_D$ 是 $f_D$ 的轨道，其中 $f_D$ 是对应于 $D$ 中根的根余向量之和。我们求出了 $\Omega_D$ 的维数，并在 $f_D$ 处构造了 $\nt$ 的极化。我们还研究了由与车放置相关的轨道之间的关联所诱导的车放置集上的偏序关系。