$G_2$ 与 $F_4$ 中的车放置及其相伴的余伴随轨道

设 $\mathfrak{n}$ 为具有根系 $\Phi$ 的单复李代数的极大幂零子代数。正根系 $\Phi^+$ 的一个子集 $D$ 若由两两非正标量积的根组成，则称为车放置（rook placement）。对每一车放置 $D$ 及每一从 $D$ 到非零复数集 $\mathbb{C}^{\times}$ 的映射 $\xi$，可自然赋予对偶空间 $\mathfrak{n}^*$ 中的余伴随轨道 $\Omega_{D,\xi}$。按定义，$\Omega_{D,\xi}$ 是 $f_{D,\xi}$ 的轨道，其中 $f_{D,\xi}$ 为根余向量 $e_{\alpha}^*$ 乘以 $\xi(\alpha)$（$\alpha\in D$）之和。（事实上，目前研究的余伴随轨道几乎都具有对某一 $D$ 与 $\xi$ 的此种形式。）由 Andr\`e 的结果可知，若 $\xi_1$ 与 $\xi_2$ 是从 $D$ 到 $\mathbb{C}^{\times}$ 的不同映射，则对经典根系 $\Phi$，$\Omega_{D,\xi_1}$ 与 $\Omega_{D,\xi_2}$ 不重合。我们证明当 $\Phi$ 为 $G_2$ 型，或 $\Phi$ 为 $F_4$ 型且 $D$ 为正交时，此结论亦成立。