正特征下的轨道相交问题

本文研究正特征下线性空间与代数群的轨道相交问题。设 $K$ 为具有正特征的代数闭域，$\Phi_1, \Phi_{2}: K^d \longrightarrow K^{d}$ 为仿射映射，$\Phi_i({\bf x}) = A_i ({\bf x}) + {\bf x_i}$（其中每个 $A_i$ 为 $d\times d$ 矩阵且 ${\bf x}\in K^d$）。若矩阵 $A_i$ 的特征值均非单位根，且每个 ${\bf a}_i \in K^d$ 都不是 $\Phi_i$-预周期的，则我们证明集合 $\left \{(n_1, n_2) \in \Z^{2} \mid \Phi_1^{n_1}({\bf a}_1) = \Phi_{2}^{n_{2}}({\bf a}_{2})\right\}$ 是 $\mathbb{Z}^{2}$ 中阶至多为 $d$ 的 $p$-正规集。进一步，设 $\Phi_1, \Phi_{2}: \mathbb{G}_m^d \longrightarrow \mathbb{G}_m^d$ 为正则自映射，${\bf a}_1, {\bf a}_2\in \mathbb{G}_m^d(K)$。设 $\Phi_1^0$ 和 $\Phi_2^0$ 为 $\mathbb{G}_m^d$ 的群自同态，${\bf y}, {\bf z} \in \mathbb{G}_m^d(K)$ 使得 $\Phi_1({\bf x}) = \Phi_1^{0}({\bf x}) + {\bf y}$ 且 $\Phi_2({\bf x}) = \Phi_2^{0}({\bf x}) + {\bf z}$。我们在 $\Phi_1^{0}$ 与 $\Phi_2^{0}$ 的极小多项式根的一些条件下，证明集合 $\{(n_1, n_{2}) \in \N_0^{2} \mid \Phi_1^{n_1}({\bf a}_1) = \Phi_{2}^{n_{2}}({\bf a}_{2})\}$（其中 ${\bf a}_1, {\bf a}_2\in \mathbb{G}_m^d(K)$）是单点集与单参数线性族的有限并。为此，我们运用了正特征下乘法群上的线性方程结果以及一些多项式-指数方程组的结果。